Regra de três composta, na matemática, é a forma de encontrar um valor desconhecido quando conhecemos três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
 

 

Exemplos de regra de três composta:

Exercícios resolvidos de regra três composta

1) Numa gráfica existem 3 impressoras off set que funcionam ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado umas das impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?

a) 20 b) 18 c) 15 d) 10 e) 8

Solução: monte a tabela e agrupe as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.

Impressoras Horas/Dia Dias Folhas
3 10 4 240.000
2 X 6 480.000

Perceba que se trata de um problema que envolve regra de três composta, pois temos mais de três grandezas conhecidas. Vamos resolver esse problema de regra de três composta, analisando cada grandeza relativamente à grandeza onde está o X. Assim, para resolver regra de três composta você deve reduzir o problema em várias regra de três simples. Se você não sabe com resolver regra de três simples, acesse a seção aqui no site.

Analisemos, inicialmente, a grandeza impressoras com horas/dia que é onde se encontra a incógnita, isto é, o X.

Inicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido contrário do X, isto é, para cima. Vamos analisar a outra parte.
Inversa: se diminuímos o número de impressoras, precisamos aumentar a carga horária de trabalho. Assim, coloquemos uma seta contrária, isto é, para baixo.

regra de três composta

Agora vamos analisar a grandeza dias com horas/dia, onde está o X.

Inversa: se aumentamos o número de dias de trabalho, podemos diminuir a carga horária de trabalho. Assim, também coloquemos uma seta contrária, isto é, para baixo.

regra de três composta

Por último, vamos analisar a grandeza folhas com horas/dia, onde está o X.

Direta: se aumentamos a quantidade de trabalho a ser feito, precisamos aumentar a carga horária de trabalho. Então, neste caso, coloquemos uma seta na mesma direção do X, isto é, para cima.

regra de três composta

Juntando tudo, temos:

regra de três composta

Então, sempre respeitando o sentido das setas, ou seja, quando for inversa (seta vermelha) invertemos os valores (denominador, parte de baixo, vai para o numerador, parte de cima) e quando for direta deixa como está. Esse processo foi ensinado em regra de três simples, vale também para regra de três composta.

regra de três composta

Agora, para resolver, vamos isolar a grandeza que possui a incógnita, isto é, o X, para formarmos a equação. Veja:

regra de três composta

Como pode ver, o que está antes da igualdade multiplicamos em cruz, isto é, em X; o que está depois da igualdade multiplicamos em linha. Assim, temos a seguinte equação:

regra de três composta

Logo, as máquinas restantes devem funcionar 20 horas/dia para produzir 480.000 folhas em 6 dias.
Resposta: A


Exemplo:

2) 24 operários fazem 2/5 (dois quinto) de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia?

a) 8 b) 11 c) 12 d) 21 e) 18

24 operários …. 2/5 trabalho …. 10 dias …. 7 horas/dia

Como já foram feitos 2/5 do trabalho, ou seja, 2 partes de uma tarefa dividida em 5 partes, restam concluir 3 dessas partes.

Solução: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.

Operários Partes do Trabalho Dias Horas/Dia
24 2 10 7
20 3 X 6

Coloquemos inicialmente uma seta contrário ao X, isto é, para cima.

regra de três composta

Analisando cada grandeza em relação ao X.

Vamos analisar a grandeza operários em relação ao X.

Inversa: diminuindo o número de operários a quantidade de dias aumenta.

regra de três composta

Agora, vamos ver como se comporta as partes do trabalho em relação ao X.

Direta: aumentando o trabalho a quantidade de dias aumenta.

regra de três composta

Vejamos agora, a jornada diária (horas/dia) em relação ao X.

inversa: diminuindo a jornada diária a quantidade de dias aumenta.

regra de três composta

Juntando tudo, temos:

regra de três composta

Respeitando o sentido das setas e invertendo as grandezas inversamente proporcionais, ou seja, as setas para baixo (vermelha). O objetivo é transformar as grandezas em diretamente proporcionais. Como ficou diretamente proporcional, colocamos as setas tudo numa só direção (seta azul, para cima, diretamente proporcional). Fica assim:

regra de três

Isolando a incógnita, isto é, a grandeza onde tem o X. Relembrando, o que está antes da igualdade multiplicamos em cruz, isto é, em X; o que está depois da igualdade multiplicamos em linha. Seguindo o sentido das setas.

regra de três

Resolvendo a equação:

regra de três

Logo, a obra será terminada em 21 dias com 20 operários trabalhando 6 horas/dia.

Resposta: D

O intuito é facilitar o entendimento sobre regra de três composta, que parece ser mais difícil que a regra de três simples, mas, quando explicado os passos, fica fácil. Se gostou, curte aí ! 😉

Bons estudos e boa sorte!

Estude também

  • Sergim #JN

    Desculpe, mas ainda não aprendi oq eu precisava, tenho um exemplo de problema que não aprendi a como solução.
    “Um veiculo percorre uma certa distancia trafegando com dada velocidade constante durante 3 horas. Quanto tempo ele gastaria para percorrer 2/3 daquela distancia em uma velocidade contante que fosse 3/5 da anterior ?”

    Como o resolvo ? Se puder me responder e exemplificar por favor e ainda postar aqui para que mais pessoas aprendam, ajudaria.

    • Jean Carlos Novaes
      • Sergim #JN

        Muito obrigado !! Aprendi sim, parabéns pela atenção que voce deu e obrigado.

      • Gizeli Caroline

        jean carlos, daonde surgiu aquele 2.800.000, até entao entendi tudo, mas chegou aí eu blefei…porque até ali, era 2.880.000??

        • Jean Carlos Novaes

          Veja as setas pretas. Porque multiplicamos em linha onde não tem incógnita. Pegamos a incógnita, onde está o X, isolamos ela. Depois, onde não há incógnita multiplicamos em linha, ou seja, denominador e numerador.

          Então: 2*6*240.000 = 2.880.000

          Releia de novo meu bem que você vai entender.

          • Lucas Goudinho

            Realmente na parte do 57.600.000=2.880.000x
            q ficaria -2.880.000x=-57.600.000*(-1)
            2.880.000x=57.600.000

            Ficou 2.800.000x=57.600.000 por que?

          • Jean Carlos Novaes

            Por que ficaria negativo?
            Ficou isso aí que você perguntou porque multipliquei em cruz.
            Depois passei dividindo e encontrei o valor de X.

          • Andréia Paula Barbieri

            Jean, desculpe mas tem um erro de digitação ai, é 2.880.000, e não 2.800.000 como esta escrito na ultima equação.

          • Jean Carlos Novaes

            Ah, obrigado Andreia vou corrigir. Entendi agora. Se as pessoas fossem diretas rs 🙂

  • Matheus Fasanella

    Parabéns pela iniciativa!

    • Jean Carlos Novaes

      Obrigado, vem mais por aí. Estou preparando um conteúdo sobre matemática básica.

      • Sergim #JN

        quando estiver pronto me passe por favor, vou divulgar ^^

        Subject: Re: Comment on Regra de Três Composta, Entenda Como Resolver

      • Lanna

        Quero ser informada quando o conteúdo de matemática básica estiver pronto ok

  • Andreia

    Nossa muito bom! Eu tinha esquecido agora veio tudo em mente passo a passo… bem mastigado porém simples e objetiva! Parabéns e Deus te abençõe!

    • Jean Carlos Novaes

      Obrigado, amém.

  • paloma

    nossa gostei muituh ………muituh bem explicaduh

    • Jean Carlos Novaes

      🙂

  • Fabrício Dias

    Parabéns, muito bom!

  • telma

    legal! consegui aprender com o primeiro exemplo… o segundo exemplo consegui responder corretamente sem olhar a explicação… foi muito bem explicado parabéns!

    • Jean Carlos Novaes

      Obrigado

  • Paulo Weber Bianchi

    Parabéns!

    • Jean Carlos Novaes

      vlw

  • Lidia

    Jean, estou tentando resolver um exercício de uma prova que já foi feita, e não chego no resultado que está como correto no gabarito.

    Em uma empresa, 16 funcionários conseguem realizar uma determinada tarefa em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia. Se todos esses funcionários trabalham com desempenhos iguais e constantes, assinale o que for correto.
    01) 24 funcionários trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias realizam 75% dessa tarefa.

    02) 16 funcionários trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias realizam metade dessa tarefa.
    04) Essa tarefa pode ser realizada por 16 funcionários em 24 dias, trabalhando 5 horas por dia.
    08) Essa tarefa pode ser realizada por 24 funcionários em 6 dias, trabalhando 10 horas por dia.
    Só consegui chegar no resultado 02, porém no gabarito diz que está correto o 01, o 02 e o 04.
    Pode me ajudar a entender?

    • Jean Carlos Novaes

      Oi, Lídia tente montar o problema assim:

      16 funcionários, trabalha 8h/dia, em 15, realiza 100% da tarefa. Então, a questão informa algumas proposições que você tem que analisar e provar que é verdade.

      Eu armaria o problema assim, como abaixo. Em 01, o valor de X tem que ser 24 para ser verdade. Em 02 o valor de X tem que ser 16 para ser verdade. Em 04 o valor de X tem que ser 100% ou 1 para ser verdade. Em 08 o valor de X também tem quer ser 100% ou 1.

      Veja se você entende e tente responder. Não respondi por falta de tempo. Dei uma olhada e entendi assim. Só aplicar regra de três e analisar os dados.

      01) funcionários —- horas/dia —- dias —- tarefa
      16 —– 8 —- 15 —- 100% (1)
      X —– 6 —- 10 —- 75% (0,75)

      02) funcionários —- horas/dia —- dias —- tarefa
      16 —– 8 —- 15 —- 100% (1)
      X —– 6 —- 10 —- 50% (0,5)

      04) funcionários —- horas/dia —- dias —- tarefa
      16 —– 8 —- 15 —- 100% (1)
      16 —– 5 —- 24 —- X

      08) funcionários —- horas/dia —- dias —- tarefa
      16 —– 8 —- 15 —- 100% (1)
      24 —– 10 —- 6 —- X

      Boa sorte.

      • Lidia

        Então… era mais ou menos assim q eu tinha tentado resolver, só q como não consegui chegar a um resultado q batesse com o que consta no gabarito, achei q eu poderia estar fazendo algo errado. O gabarito diz q tem q estar correto o item 01, 02 e 04. Só consigo chegar no item 02 corretamente, onde o valor de x dá 16. No item 01 o valor de x dá 22,5 e não 24 funcionários e no item 04 o valor de x dá 0,39 e não 1. Agora fiquei na dúvida se sou eu que estou fazendo errado ou se é o gabarito que está errado.

        • Lidia

          O item 04 consegui chegar no x = 1, era eu que estava fazendo errado mesmo, mas o item 01 não consigo achar 24 funcionários, somente 22,5.

          • Jean Carlos Novaes

            Veja se não está colocando as porcentagens em decimais: 75% -> 0.75

          • Lidia

            Era bem isso mesmo, se eu calcular com o 100 e o 75 em vez de usar 1 e 0,75 chego no 24 funcionários… obrigada!!!

    • Odair Quenupe

      sacanagem isso sim desses formuladores de questão.. mesmo que saiba a mecânica, a trabalheira que dá para montar as possibilidades estoura o tempo médio para resolução!

  • lecah tube

    nao estou conseguindo chegar nunca no resultado certo quando e composto

  • Vitoria

    muito bom ! a questão 2 de regra de três composta , por que deu dois terço de partes de trabalho ,sabendo que o exercicio fala que é dois quinto?

  • Fernanda Santos

    Bem explicativo, só não consigo entender o porque que muda a ordem (as setas vermelhas e azuis).

    • Jean Carlos Novaes

      Propriedade fundamental da proporção

      “O produto dos meios é igual ao produtos dos extremos”.

      Então, ao escrevermos,a/b = c/d dizemos que a e d são os extremos da proporção e b e c são os meios da proporção.

      Dê uma lida nisso: http://matematicabasica.net/razao-e-proporcao/

  • Luana Abreu

    A PROFESSORA DEMOROU UMA SEMANA PARA EXPLICAR E ACABEI DE APRENDER EM QUESTÃO DE MINUTOS!!! SUPER D+

    • Jean Carlos Novaes

      Você não precisa esperar por ela, tem tudo aqui 😉

  • felipe

    obrigado pela explicação.

    • Jean Carlos Novaes

      Por nada

  • romulo

    CARA VOCÊ ENSINA BEM DEMAIS!

    • Jean Carlos Novaes

      Obrigado

  • Marcus

    Cara obrigado ae mano mas a ultima eu acho q ta errado pq no enunciado vc fala dois quintos e na questao vc bota dois sobre tres , nao entendi.

    • Marcus

      O meu deu 13

      • Jean Carlos Novaes

        A primeira linha é o que já foi feito, a segunda o que falta fazer.

        “Como já foram feitos 2/5 do trabalho, ou seja, 2 partes de uma tarefa dividida em 5 partes, restam concluir 3 dessas partes.”

        Se foram feitos 2/5, 2 partes de um total de 5, então falta fazer 3.

        Por isso, foram feitas 2 partes do trabalho e faltam fazer 3, e não 2/3 como vc está pensando.

  • Servio Almeida

    Dificil

  • cauby

    Quero parabenizar pela forma clara e objetiva que o site tratou o assunto.

    • Jean Carlos Novaes

      Obrigado

  • Édelin

    A coluna que tem o X sempre será diretamente proporcional?

    • Jean Carlos Novaes

      Não importa poderia ser inversamente proporcional. Somente é feita uma escolha para analisar a outra grandeza.

      • Édelin

        Obg!

  • Jean Carlos Novaes

    🙂

  • Braian

    como aumentando o trabalho o numero de dias aumenta? nao entendi a parte da flecha pra cima ou para baixo

  • Romulo Normando

    VLW… essa forma e mto boa para estuda para concursos por esta simplificada e explicada gostei mto

  • Isaias Brandao Mota

    Olá a todos.

    Tenho uma questão de um concurso que estou com dúvidas. Se alguém puder me ajudar é só responder, obrigado. Segue a questão:

    Três grandezas A, B e C, são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional ao quadrado de C.
    Quando B = 6 e C = 3 tem-se A = 1.
    Quando A = 3 e C = 2, o valor de B é:
    (A) 1
    (B) 2
    (C) 4
    (D) 6
    (E) 8

    • Daniel Petry

      é a LETRA (E), a resposta?

    • Ana da turma

      Letra E

  • João Nascimento

    Gostei muito, tirei minha dúvida rapidinho!!!

  • Claudi Kolling

    Muito bom seu trabalho!

  • Mayara Januario

    Obrigada!! Me ajudou muito 🙂

  • Higino Higgs

    O enunciado da questão 2 não está claro. Imagino que não seja culpa do professor que resolveu a questão nessa página. Mas quando se escreve “24 operários FAZEM 2/5 (dois quinto) de determinado serviço em 10 dias” dá a impressão de que essa é a capacidade laborativa dos operários. Porém, vendo a resolução, o que deveria ter sido enunciado é que “24 operários FIZERAM 2/5 (dois quinto) de determinado serviço em 10 dias”, pois assim sou capaz de concluir que restam ainda 60% de serviço para ser realizado. Outro problema é a frase final “e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia”. Como assim? Trabalham 7 horas no primeiro dia, 6 h no segundo, 5h no terceiro … ? Sei que não é isso, porque não seria mais uma questão de regra de três pela quebra de linearidade. Mas acho que a frase deveria ser “e o regime e trabalho diário reduzido em 1 hora” ou, mais facilmente, “e o regime de trabalho de 6 horas”.

    • Jean Carlos Novaes

      Você tem razão, alterarei depois… Obrigado

  • Wagner

    Ola, bom dia!Não consegui resolver este problema. Isto é regra de três?Como resolver?

    Uma pessoa comprou vários tipos de canetas. As quantidades

    e os preços unitários de cada tipo estão na tabela.

    Tipos de Canetas Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Tipo E

    Quantidade 8 16 10 20 10

    Preço unitário ? R$

    1,00

    R$

    1,20

    R$

    1,10

    R$

    1,80

    Considerando o total de canetas compradas, o preço médio de

    uma caneta foi de R$ 1,25, então o preço unitário da caneta

    do tipo A foi

    (A) R$ 1,30.

    (B) R$ 1,40.

    (C) R$ 1,50.

    (D) R$ 1,60.

    (E) R$ 1,70.

  • Gabriel Gaspar

    não sei como agradecer… estou estudando para fazer Etec e você(s) me salvaram, muito obrigado mesmo!

  • vladimir

    quem + veio pelo guia etec?

  • vladimir

    pq no primeiro exemplo você pos a seta ao contrario do sentido do x?

  • Luiz Fernandes

    Dúvida:

    1 – Em 10 dias foi realizado 2/3 do serviço;
    2 – Em 21 dias foi realizado o restante do serviço(3/5).

    Então o tempo(dias) total do serviço foi de: 10 + 21 = 31dias -> Correto?

  • Bandeide Leonhart

    Putz, estou estudando para um concurso e no conteúdo programático tem Regra de três composta, já não me lembrava mais como se fazia kkkkk
    valeu, ajudou muito.

  • Pedro Henrique Tostes

    Por que existe um site só sobre regra de três ???
    Não que eu esteja criticando,(é claro!) mas por que não mais algumas coisas interessantes nesse mesmo site ???
    Seria legal !!!

  • Antenor Assis

    Complicadão….

  • Ricardo

    preciso de ajuda.
    comprei 7.400 kl de alcatra completa, sendo que nesta peça de carne vem:
    3.940 kl de alcatra, 2kl de picanha, 1.460 kl de maminha.
    sendo o preço da peça toda 26,80 o kilo, quanto paguei pelo kilo de alcatra,
    de picanha e de maminha individualmente.

  • Angelito Chagas

    Ahhhhhhhhhhhh, valeu!!! INCRÍVEL, CARA!